Von Kugeln, Wurst- und Pizzapackungen

Lorenz Bockisch

Heute geht es, wieder passend zum Jahr der Mathematik, um die Theorie der endlichen Kugelpackung. Das unerwartet komplizierte Problem stammt ursprünglich aus der Seefahrt, als die britische Marine von einem Mathematiker wissen wollte, wie Kanonenkugeln möglichst platzsparend zu lagern seien. Heute taucht es in der modernen Kristallographie wieder auf: Wie verteilt man eine bestimmte Anzahl Kugeln (oder Kristallmoleküle) auf möglichst kleinem Raum? Das lässt sich in vielen Fällen berechnen, und unter bestimmten Voraussetzungen passiert dann eine Wurstkatastrophe.

Will man Kugeln möglichst effektiv packen, kann man dies mathematisch abstrahieren. Zunächst wird um die Kugeln eine konvexe Hülle konstruiert – also eine, die nur nach außen gewölbt ist. Bei einer einzigen Kugel ist das die Kugelaußenhülle selbst, ab zwei Kugeln bildet sich eine Wurst. Und eben diese Wurst ist zunächst die effektivste Verpackung, vergleichbar mit einer Tennisball-Pappröhre.


Ab drei Stück kann man die Kugeln auch anders verpacken: In einer Ebene angeordnet entsteht eine sogenannte Pizzapackung, in etwa wie Pralinen in einer Schachtel. Nimmt man noch eine vierte Kugel dazu, ist auch eine Clusterpackung möglich, bei der die Kugeln auch in der dritten Dimension gepackt sind; das anschaulichste Beispiel dafür ist der Stapel aus Orangen in der Auslage eines Obsthändlers.

Doch überraschenderweise ist die platzsparendste Verpackung – also die mit den kleinsten Zwischenräumen – die Wurstverpackung, allerdings nur bis zur 55. Kugel. Es wurde mathematisch größtenteils nachgewiesen, dass ab der 56. Kugel eine Clusterpackung ökonomischer ist; wie diese allerdings aussieht, ist (noch) unbekannt. Dieser plötzliche Übergang von einem Zustand zum anderen wird von Mathematikern scherzhaft als "Wurstkatastrophe" bezeichnet.

Bemerkenswert dabei ist, dass die optimale Anordnung anscheinend nie eine Pizzapackung ist – auch in Räumen mit mehr als den uns ersichtlichen drei Dimensionen: In einem 42-dimensionalen Raum zum Beispiel tritt die Wurstkatastrophe nie auf, die ökonomischste Kugelpackung ist und bleibt eine Wurst, egal für wieviele Kugeln.

Die Probleme bei der widerspruchsfreien Berechnung einer Kugelpackung im dreidimensionalen Raum bestehen vor allem darin, dass es keine einfache Formel für das Volumen eines beliebigen Clusters gibt. Dieses muss geschätzt werden, auch weil ab einer bestimmten Anzahl Kugeln eine extrem große Anzahl von möglichen Anordnungen existiert. Für die Anordnung der Moleküle in einem Kristall (die als Kugeln angenommen werden) wird eine solche Berechnung dann sehr umfangreich. Insofern können die Mathematiker den Kristallographen nur bedingt helfen.