Die Knoten-Forscher

Lorenz Bockisch

Trägt man die Kopfhörerkabel eines MP3-Players mit sich in der Hosentasche herum, entstehen darin ständig störende Knoten. Also, dachten sich drei 16-jährige Schüler aus Donaueschingen, muss man diese Knotenbildung erforschen. In welche hochmathematischen Gefilde sie mit ihrem Projekt "Wenn Knoten sich zu Knoten knoten" vordringen, hatten sie aber nicht erwartet.


Nach der Idee, dass man diese Knotenbildung doch untersuchen könnte, stand das Problem: Wie stellt man Knoten automatisch und zuverlässig her? Dazu bauten sich Emilia Neuwirt, Vanessa Göpfert und Rafael Wesle (Foto oben, v.l.) eine kleine Maschine. Mit Lego, einem Elektromotor und einer selbstgebauten verschließbaren "Waschtrommel" entstand nach wochenlangem Konstruieren das Knotenmachgerät.


Da hinein kommt nicht etwa ein Kopfhörerkabel, das wäre für exakte wissenschaftliche Beobachtungen viel zu ungleichmäßig. Im Baumarkt wurden sie fündig: eine Badewannenstöpselkette wurde das ideale Testobjekt.



Nun ging es an die Arbeit: Fast die gesamten Weihnachtsferien verbrachten die drei damit, die Maschine jeweils 20 Sekunden laufen zu lassen und die eventuell entstandenen Knoten zu analysieren. Dazu wird die Badewannenstöpselkette zuerst vorsichtig auseinandergezogen. Hat sich ein Knoten gebildet, beginnt Vanessa, die Überschneidungen zu zählen und Emilia notiert, ob der Strang oberhalb (O) oder unterhalb (U) durchgeht. Ein einfacher Knoten, wie ihn jeder von der Schnürsenkelschleife kennt, sieht dann so aus: UOUOUO.


So entstehen lange Ketten von Os und Us. Diese werden mit einem eigens entwickelten (und nicht sehr komplizierten) mathematischen Verfahren – der Methode der gleichen Differenzen zur Knotenmitte – dahingehend untersucht, ob sie symmetrisch sind, also ob der Knoten vom einen Badewannenstöpselkettenende betrachtet genauso aussieht wie vom anderen her.

Dies ist ein völlig anderer Ansatz als der, den Mathematiker auf dem Gebiet der Topologie sonst benutzen. Deren Knotentheorie sucht zwar auch nach einer Beweisführung für die Äquivalenz von Knoten. Aber natürlich nur mit Formeln und Zahlen, nicht mit Zählen.

Der Brezelknoten (UOUOUO) ist dabei der einfachste echte Knoten und gleichzeitig symmetrisch. Aber es entstanden auch Knoten mit bis zu 34 Überschneidungen, wenn auch sehr selten. Den häufigeren Knotenarten gaben die drei Schüler Namen: Karl'scher Knoten, Brillenknoten, Hochzeitsknoten, diploider Knoten (der unten abgebildete Knoten hat 18 Überschneidungen und keinen Namen).



Natürlich war auch eine statistische Analyse mit Hilfe eines Ereignisbaumes (Foto unten) geplant. Doch der wurde deutlich größer und komplizierter als erwartet: Nicht jeder Kombination von O und U ergibt einen Knoten, bei so mancher Kombination löst sich der Knoten wieder auf. Die wichtigste Erkenntnis aus dieser statistischen Analyse war, dass sich theoretisch bei 60% der (als rein zufällig angenommenen) Versuche kein Knoten bildet.

Dieser Erwartungswert wurde auch in inzwischen über 100 Knotenmaschinendurchgängen bestätigt: in 63% der praktischen Versuche bildete sich kein Knoten.



Was sich allerdings als deutlich schwieriger bis unmöglich herausstellte, war die Systematisierung der Knoten. Hier scheint alles aus dem Chaos zu kommen und zum Chaos zu streben.

Die verknoteten Kopfhörerkabel lassen sich mit dieser am Fürstenberg-Gymnasium in Donaueschingen entwickelten Methode also nur im Nachhinein analysieren, nicht aber verhindern. Und ganz sicher werden die drei Schüler nie wieder ein in sich verschlungenes Kabel ansehen können, ohne den Knoten analysieren zu wollen.

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