Die häufigsten Zahlen

Lorenz Bockisch

Schon gewusst, dass das Jahr 2008 das Jahr der Mathematik ist? Aus diesem Anlass kommt an dieser Stelle - in recht loser Reihenfolge - immer wieder ein kleines mathematisches Faszinosum zur Sprache, das einen interessanten Einblick bietet in die von vielen so ungeliebte Welt der Mathematik. Heute macht das Benfordsche Gesetz den Anfang, das eine unerwartete Aussage über die Häufigkeit von Anfangszahlen macht und auch sehr interessante Auswirkungen auf die Wirklichkeit hat. Bitte

Zuerst wurde diese Gesetzmäßigkeit 1881 vom amerikanischen Mathematiker Simon Newcomb entdeckt. Damals wurden in Ermangelung technischen Fortschritts noch keine Taschenrechner, sondern Logarithmentafeln für kompliziertere Berechnungen benutzt. Newcomb fiel auf, dass die Seiten mit den niedrigeren Anfangsziffern deutlich mehr abgenutzt waren als die mit den höheren.


Das veröffentlichte er zwar in einer Mathematikerzeitschrift, doch geriet seine Entdeckung über 40 Jahre in Vergessenheit, bis sich der Physiker Frank Benford dieser Thematik wieder annahm. Der beschrieb dieses Gesetz mathematisch (für Interessierte: klick) und auch mit folgenden Worten:

„Je niedriger der zahlenmäßige Wert einer Ziffernsequenz bestimmter Länge an einer bestimmten Stelle einer Zahl ist, umso wahrscheinlicher ist ihr Auftreten. Für die Anfangsziffern in Zahlen des Zehnersystems gilt zum Beispiel: Zahlen mit der Anfangsziffer '1' treten etwa 6,5-mal so häufig auf wie solche mit der Anfangsziffer '9'.”

Da könnte man sagen: Klingt komisch, is aber so. Die Bedeutung jedoch ist schlicht und einfach: In vielen Ansammlungen von Zahlen tritt die 1 als Anfangsziffer in etwa 30% aller Fälle auf, die 2 nur noch mit ungefähr 18% und die 9 schließlich nur noch mit knapp 5%.

Auffällig ist dabei, dass eigentlich zu erwarten gewesen wäre, dass jede Ziffer mit jeweils 11% (=ein Neuntel) vertreten wäre. Das ist zwar bei den Zahlen 1-9 der Fall, doch schon danach gewinnt die 1 die Vorherrschaft bei den Zahlen bis 20. Und genau dort liegt die Krux dieses Gesetzes: Bei „natürlich” entstandenen und ausreichend umfangreichen Datensätzen kommen die kleineren Anfangszahlen häufiger vor; sie sind nichtnormalverteilt, sondern log-normalverteilt.

Das liegt daran, dass etwa in Bilanzen, Forschungsstatistiken, Erntemengen oder Einwohnerzahlen von Städten schnell die nächsthöhere Stelle übersprungen ist (z.B. von 99 000 Einwohnern auf 100 000 Einwohner), es dann aber länger dauert, bis z.B. 900 000 Einwohner erreicht sind. Und von denen ist es nicht mehr weit bis zur Million, die wieder mit einer 1 beginnt.

Dass dieses Newcomb-Benford's Law (NBL) nicht nur eine statistische Spielerei ist, bewiesen Wirtschaftsprüfer erst vor wenigen Jahren, als sie die Bilanztricks des Energieriesen Enron und des Telekommunikationsgiganten Worldcom auffliegen ließen. In deren Bilanzen fanden sie mittels kleiner Computeralgorithmen Phantasiezahlen, die eben nicht dem NBL entsprachen und prüften daraufhin genauer nach. Den „Finanzgenies” der späteren Pleitefirmen war dieses mathematische Gesetz offensichtlich nicht bekannt

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